Starke Annäherung der gebrochenen Brownschen Bewegung durch gleitende Mittelwerte von einfachen zufälligen Wanderungen Paacutel Reacuteveacutesz anlässlich seines 65. Geburtstages Tamaacutes Szabados Institut für Mathematik, Technische Universität Budapest, Egry u 20-22, H eacutep. V em. Budapest, 1521 Ungarn 19. Dezember Received 1999 Überarbeitete 29. August 2000, angenommen 4 September 2000 Online verfügbar 9. Februar 2001Abstract Die fraktionierte Brownsche Bewegung ist eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Brownsche Bewegung, verwendet vor allem, wenn langfristige Abhängigkeit erforderlich ist. Die explizite Einführung ist auf Mandelbrot - und van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) als selbstähnlich Gaußprozess W (H) (t) mit stationären Zuwächsen. Hier bedeutet Selbstähnlichkeit das. wobei H isin (0,1) ist der Hurst Parameter der fraktionierten Brownsche Bewegung. F. B. Ritter gab eine Konstruktion der gewöhnlichen Brownschen Bewegung als eine Grenze der einfachen zufälligen Wege im Jahre 1961. Später wurde seine Methode von Reacuteveacutesz (Random Walk in Random und Non-Random Environments, World Scientific, Singapur, 1990) und dann von Szabados (Studia Sci Math. Hung 31 (1996) 249ndash297). Dieser Ansatz ist ganz natürlich und elementar und kann als solche auf allgemeinere Situationen ausgedehnt werden. Basierend hierzu verwenden wir die gleitenden Mittelwerte einer geeigneten verschachtelten Folge einfacher zufälliger Wanderungen, die fast sicher gleichmäßig auf die fraktionierte Brown'sche Bewegung bei Kompakten zusammenlaufen, wenn. Die Konvergenzrate ist in diesem Fall nachgewiesen. Wobei N die Anzahl der für die Näherung verwendeten Schritte ist. Wenn die genaueren (aber auch komplizierteren) Komloacutes et al. (1975, 1976) Näherung wird stattdessen verwendet, um zufällige Wanderungen in gewöhnliche Brownsche Bewegung einzubetten, dann konvergieren dieselbe Art von sich bewegenden Mitteln fast sicher gleichmäßig auf die fraktionierte Brownsche Bewegung auf Kompaktkörpern für jedes H isin (0,1). Darüber hinaus wird die Konvergenzrate als die bestmögliche vermutet. Obwohl hier nur bewiesen ist. MSC Schlüsselwörter Fraktionale Brownsche Bewegung Pathwise-Konstruktion Starke Approximation Zufälliger Weg Beweglicher Durchschnitt 1. Bruchteilige Brownsche Bewegung Die fraktionierte Brownsche Bewegung (fBM) ist eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Brownschen Bewegung (BM), die besonders dann verwendet wird, wenn eine weitreichende Abhängigkeit wesentlich ist. Obwohl die Geschichte der fBM auf Kolmogorov (1940) und andere zurückgeführt werden kann, ist ihre explizite Einführung auf Mandelbrot und van Ness (1968) zurückzuführen. Ihre Absicht war, ein Selbst-ähnliches zu definieren. Zentrierten Gaußschen Prozeß W (H) (t) (t0) mit stationären, aber nicht unabhängigen Inkrementen und mit kontinuierlichen Abtastpfaden a. s. Hier bedeutet Selbstähnlichkeit für jedes a gt0, wo H isin (0,1) der Hurst-Parameter des fBM ist und Gleichheit in der Verteilung bezeichnet. Sie zeigten, dass diese Eigenschaften fBM charakterisieren. Der Fall reduziert sich auf gewöhnliche BM mit unabhängigen Inkrementen, während die Fälle negativ (bzw. positiv) korrelierte Inkremente ergeben, siehe Mandelbrot und van Ness (1968). Es scheint, dass in den Anwendungen von fBM, der Fall ist die am häufigsten verwendete. Mandelbrot und van Ness (1968) lieferten die folgende explizite Darstellung von fBM als gleitendem Durchschnitt von gewöhnlichem, aber zweiseitigem BM: mit t 0 und (x) max (x, 0). Die Idee von (2) bezieht sich auf deterministische Fraktionskalküle. Die eine noch längere Geschichte als fBM aufweist, die auf Liouville, Riemann und andere zurückgeht, siehe Samko et al. (1993). Sein einfachster Fall ist, wenn eine stetige Funktion f und eine positive ganze Zahl gegeben sind. Dann kann eine Induktion mit Integration durch Teile zeigen, daß die Ordnung iteriertes antiderivatives (oder Ordnungsintegral) von f ist. Andererseits ist dieses Integral auch für nicht-ganzzahlige positive Werte gut definiert, wobei es in diesem Fall als ein fraktionales Integral von f bezeichnet werden kann. So ist heuristisch der Hauptteil von (2) das Ordnungsintegral des (im gewöhnlichen Sinne nicht existierenden) Weißrauschprozesses W prim (t). Somit kann die fBM W (H) (t) als eine stationäre Inkrementmodifikation des fraktionalen Integrals W (t) des Weißrauschverfahrens betrachtet werden (FBM) wird die Klasse der gebrochenen LxE9vy-Prozesse (FLPs) eingeführt, indem die Brownsche Bewegung durch einen allgemeinen LxE9vy-Prozess mit nullter Mittelwert, endlicher Varianz und keiner Brownschen Komponente ersetzt wird. Wir stellen verschiedene Methoden zur Konstruktion von FLPs vor und untersuchen die Eigenschaften von zweiter Ordnung und Probeweg. FLPs haben die gleiche Struktur zweiter Ordnung wie FBM und sind, abhängig von der LxE9vy-Maßnahme, nicht immer semimartingales. Wir betrachten Integrale in Bezug auf FLPs und MA-Prozesse mit der Long Memory-Eigenschaft. Insbesondere zeigen wir, dass das LxE9vy-getriebene MA-Verfahren mit fraktional integriertem Kernel mit dem MA-Prozess mit dem entsprechenden (nicht fraktionell integrierten) Kern übereinstimmt und von dem entsprechenden FLP angesteuert wird. Artikel Daten Zeitraum Erste Ergebnisse im Projekt Euclid: 4 Dezember 2006 Permanenter Link zu diesem Dokument projecteuclid. org/euclid. bj/1165269152 Digitaler Objektidentifikator doi: 10.3150 / bj / 1165269152 Citation Marquardt, Tina. Fraktionale LxE9vy-Prozesse mit einer Anwendung auf lange Speicher gleitende durchschnittliche Prozesse. Bernoulli 12 (2006), Nr. 6, 1099 & ndash; 1265. 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Knight gab eine Konstruktion der gewöhnlichen Brownschen Bewegung als eine Grenze von einfachen zufälligen Wanderungen im Jahre 1961. Später wurde seine Methode von Rvsz (Random Walk in Random und Non-Random Environments, World Scientific, Singapur, 1990) und dann von Szabados (Studia Sci Math. Hung. 31 (1996) 249 & ndash; 297). Dieser Ansatz ist ganz natürlich und elementar und kann als solche auf allgemeinere Situationen ausgedehnt werden. Basierend hierzu verwenden wir die Bewegungsdurchschnitte einer geeigneten verschachtelten Folge einfacher zufälliger Wanderungen, die fast sicher gleichmäßig zu der fraktionalen Brownschen Bewegung auf Vertiefungen konvergieren, wenn H (1/4, 1). Die Konvergenzrate ist in diesem Fall O (N - min (H-1 / 4,1-4) logN), wobei N die Anzahl der zur Approximation verwendeten Schritte ist. Wenn die genaueren (aber auch komplizierteren) Komls et al. (1975, 1976) wird die Annäherung stattdessen verwendet, um zufällige Wanderungen in eine gewöhnliche Brownsche Bewegung einzubetten, dann konvergiert die gleiche Art von Bewegungsdurchschnitten fast sicher gleichmäßig auf die fraktionierte Brownsche Bewegung auf Kompaktkörpern für jedes H (0, 1). Darüber hinaus wird die Konvergenzrate als das bestmögliche O (N-H log N) angenommen, obwohl hier nur O (N - min (H, 1/2) logN) bewiesen ist. Revue / Zeitschrift Titel Quelle / Quelle 2001, vol. (1973) (Revue) Mots-cls anglais / Englisch SchlagwortBraanenbewegung Quelle: de. wikipedia. org / Wiki / FractionalBrownianmotion Aktualisiert: 2016-07-28T01: 15Z In der Wahrscheinlichkeitstheorie. Fraktionierte Brownsche Bewegung (fBm). Auch als fraktale Brownsche Bewegung bezeichnet. Ist eine Verallgemeinerung der Brownschen Bewegung. Anders als klassische Brownsche Bewegung müssen die Inkremente von fBm nicht unabhängig sein. FBm ist ein kontinuierlicher Gaußscher Prozeß BH (t) von 0,160 T, der bei Null beginnt und die Erwartungsnull für alle t in 0,160 T hat und die folgende Kovarianzfunktion hat: wobei H eine reelle Zahl in (0,1601) , Genannt der Hurst-Index oder Hurst-Parameter, der mit der fraktionalen Brownschen Bewegung assoziiert ist. Der Hurst-Exponent beschreibt die Zerbrechlichkeit der resultierenden Bewegung mit einem höheren Wert, der zu einer glatteren Bewegung führt. Es wurde von Mandelbrot amp van Ness (1968) eingeführt. Der Wert von H bestimmt, welche Art von Prozeß der fBm ist: wenn H 1/2 dann ist das Verfahren tatsächlich eine Brownsche Bewegung oder ein Wiener-Prozeß, wenn H gt 1/2 dann sind die Inkremente des Prozesses positiv korreliert, wenn H lt 1 / 2 sind die Inkremente des Prozesses negativ korreliert. Es gibt auch eine Verallgemeinerung der fraktionalen Brownschen Bewegung: n-ter Ordnung der fraktionalen Brownschen Bewegung. Abgekürzt als n-fBm. 1 n-fBm ist ein Gaußscher. Selbst-ähnlichen, nicht stationären Prozeß, dessen Inkremente der Ordnung n stationär sind. Für n 1601601 ist n-fBm klassisch fBm. Wie die Brownsche Bewegung, die sie verallgemeinert, ist die fraktionierte Brownsche Bewegung benannt nach dem 19. Jahrhundert Biologe Robert Brown Fractional Gaussian Lärm ist nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauss benannt. Inhalt Hintergrund und Definition Vor der Einführung der fraktionalen Brownschen Bewegung verwendete Lvy (1953) das fraktionale Integral von RiemannLiouville, um den Prozess zu definieren, in dem die Integration in Bezug auf das Weißrauschmaß dB (s) erfolgt. Dieses Integral erweist sich aufgrund seiner Überbetonung des Ursprungs als nicht geeignet für Anwendungen der fraktionalen Brownschen Bewegung (Mandelbrot amp van Ness 1968, S.160424). Die Idee ist stattdessen, ein anderes Bruchintegral von weißem Rauschen zu verwenden, um den Prozess zu definieren: das Weyl-Integral für t 160gt 0 (und ebenso für t 160lt 0). Der Hauptunterschied zwischen der fraktionierten Brownschen Bewegung und der regulären Brownschen Bewegung ist, dass, während die Inkremente der Brownschen Bewegung unabhängig sind, das Gegenteil für die fraktionierte Brownsche Bewegung wahr ist. Diese Abhängigkeit bedeutet, dass, wenn es ein zunehmendes Muster in den vorherigen Schritten, dann ist es wahrscheinlich, dass der aktuelle Schritt wird auch zunehmen. (If H gt 1/2) Eigenschaften Eigenähnlichkeit Diese Eigenschaft ist darauf zurückzuführen, dass die Kovarianzfunktion homogen von Ordnung 2H ist und als fraktale Eigenschaft betrachtet werden kann. Bruchteilige Brownsche Bewegung ist der einzige selbstähnliche Gaußsche Prozeß. Stationäre Inkremente Es hat stationäre Inkremente: Langzeitabhängigkeit Regelmäßigkeit Sample-Pfade sind fast nirgends differenzierbar. Allerdings sind fast alle Trajektorien Hlder kontinuierlich von beliebiger Reihenfolge streng weniger als H. Für jede solche Trajektorie existiert für jedes T 160gt1600 eine Konstante c mit der Dimensionsintegration Wie für die reguläre Brownsche Bewegung kann man stochastische Integrale bezüglich der fraktionalen Brownschen Bewegung definieren, die gewöhnlich als fraktionale stochastische Integrale bezeichnet werden. Im allgemeinen sind im Gegensatz zu Integralen in Bezug auf die reguläre Brownsche Bewegung fraktionale stochastische Integrale nicht semimartingales. Beispielpfade Es können praktische Computerrealisierungen eines fBm erzeugt werden. 2, obwohl sie nur eine endliche Näherung sind. Die gewählten Probenwege können als diskrete Abtastpunkte auf einem fBm-Prozess betrachtet werden. Im Folgenden werden drei Realisierungen mit jeweils 1000 Punkten eines fBm mit Hurst-Parameter1600.75 dargestellt. H 0.75 Realisierung 1Devolution der fraktionalen Brownschen Bewegung Vladas Pipiras University of North Carolina (UNC) in Chapel Hill - Institut für Statistik Murad S. Taqqu Boston University - Institut für Mathematik und Statistik Wir zeigen, dass eine gebrochene Brownsche Bewegung mit HE (0,1) Kann als explizite Umwandlung einer fraktionalen Brownschen Bewegung mit dem Index HE (0,1) dargestellt werden. Insbesondere erhält man, wenn H1 / 2, eine Dekonvolution Formel (oder autoregressive Darstellung) für fraktionierte Brownsche Bewegung. Wir arbeiten sowohl im Zeitbereich als auch im Spektralbereich und kontrastieren die Vorteile einer Domäne gegenüber der anderen. Anzahl der Seiten im PDF-Format: 15 Datum der Veröffentlichung: 7. Mai 2003 Vorgeschlagenes Zitat Pipiras, Vladas und Taqqu, Murad S. Dekonvolution der fraktionierten Brownschen Bewegung. Zeitschrift für anorganische und allgemeine Chemie. 23, S. 487-501, 2002. Verfügbar bei SSRN: ssrn / abstract314487 Kontaktinformationen
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